8.4 Hooke'sches Gesetz und Experiment

Quelle: Themenpool §8 · Mitschrift §4.4.3

Das Gesetz

Die Hooke'sche Kraft ${\overrightarrow{F}}_H$ (Federkraft, rücktreibende Kraft) tritt in elastischen Körpern auf und wirkt einer Verformung entgegen. Die Längenänderung $\mathrm{\Delta }x$ ist direkt proportional zur verursachenden Kraft.

$${\overrightarrow{F}}_H=-k\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}(\text{Betrag: }{F}_H=k\cdot \mathrm{\Delta }x)$$

Symbol	Bedeutung	Einheit
${\overrightarrow{F}}_H$	Hooke'sche Kraft / Federkraft	N
$k$	Federkonstante	N/m
$\mathrm{\Delta }x$	Längenänderung (Auslenkung)	m

Die Federkonstante $k$ misst die Härte: großes $k$ = harte Feder, kleines $k$ = weiche Feder. Das Minus bedeutet, dass ${\overrightarrow{F}}_H$ immer entgegen der Auslenkung wirkt (die Feder „will" zurück in die Ruhelage). Das Gesetz gilt nur im elastischen Bereich — bei zu großer $\mathrm{\Delta }x$ wird die Feder bleibend (plastisch) verformt. Im $F$-$\mathrm{\Delta }x$-Diagramm ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung $k$.

Experiment: Federkonstante bestimmen

Eine Feder wird vertikal aufgehängt; nacheinander hängt man bekannte Massen an und misst die Längenänderung $\mathrm{\Delta }x$. Im Kräftegleichgewicht sind Gewichtskraft und Hooke'sche Kraft gleich:

$$F_H=F_G\Rightarrow k\cdot \mathrm{\Delta }x=m\cdot g\Rightarrow k=\frac{m\cdot g}{\mathrm{\Delta }x}$$

Abbildung: Versuchsaufbau — (1) unbelastete Feder; (2) mit Masse belastet, die Gewichtskraft $F_G=mg$ dehnt sie um $\mathrm{\Delta }x$; im Gleichgewicht $F_H=F_G$.

Rechenbeispiel: $m=250$ g $=0,25$ kg, $\mathrm{\Delta }x=1$ cm $=0,01$ m, $g=9,81$ m/s²:

$$k=\frac{0,25\cdot 9,81}{0,01}=245,25\text{ N/m}$$

Abbildung: $F_H$-$\mathrm{\Delta }x$-Diagramm zweier Federn — beide Geraden durch den Ursprung; die rote Feder $k_1$ ist steiler als die grüne $k_2$ ($k_1>k_2$), also härter.

Spannungsarbeit

Die Arbeit, um die Feder um $x$ auszulenken (= gespeicherte Energie), ist die Dreiecksfläche unter der $F$-$x$-Geraden:

$$W_H=\frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2$$